I
GAMA
NATURAL ONDULATORIA
Roberto
Rue
roberto_rue@yahoo.com.ar
La gama natural de armónicos se obtiene al
dividir una cuerda siguiendo el orden de los números naturales. Si a una cuerda
fundamental (f = 1), cuya tensión es constante, se la divide en 2, 3, 4... n-partes
iguales, se obtiene un orden de frecuencias que es 2, 3, 4... n-veces la
frecuencia de la cuerda inicial. Por ejemplo, si la cuerda fundamental vibra
100 veces por segundo, la mitad de la cuerda vibrará 200 veces en la misma
unidad de tiempo. Un tercio de la misma cuerda vibrará 300 veces y un cuarto de
ella 400 veces por segundo, y así seguirá sucediendo a medida que la cuerda se
divida de acuerdo al orden de los números naturales.
El temperamento igual está basado en la gama
natural. En este sistema, la octava (2/1), es el único intervalo exacto, dentro
del cual se distribuyen proporcionalmente las doce notas de la escala
cromática. Esta manera de dividir la octava permite la mejor aproximación
simultánea al sonido fundamental y las frecuencias 3 y 5, las que forman la
tríada mayor. Por ejemplo, si la cuerda fundamental es la nota Do = 1, la
tercera (1/3) y la quinta parte (1/5) de esta cuerda darán las notas Sol y Mi. Sin
embargo, estos intervalos naturales no son exactamente iguales que los del
temperamento porque la quinta temperada Do-Sol tiene un desvío de 2 por ciento
de semitono con relación al intervalo natural; la tercera Do-Mi tiene un desvío
de 14 por ciento, algo mayor que el de la quinta, no obstante, este desvío está
dentro de los límites razonables como para que el oído identifique la tercera
Do-Mi con el intervalo que hay entre las frecuencias naturales 4 y 5. Así, por
aproximación, a la tríada Do-Mi-Sol le corresponden las frecuencias 4:5:6, y en
la gama descendente, a la tríada menor Fa-Lab-Do
le corresponden las frecuencias 6:5:4.
El Ejemplo 1 nos muestran las notas que son
posibles reproducir en el temperamento convencional de doce notas por octava, tanto
en la gama ascendente como en la descendente (subarmónicos). Todas las
frecuencias de este sistema quedan resumidas en la siguiente fórmula: f = 2p.3q.5r, es
decir, todas
son múltiplos de las frecuencias 2, 3 y 5. Así, la segunda Do-Re es igual a 32/23, el semitono es igual a 31.51/24
y la séptima menor Mi-Re es igual a 32/51, etc. Lo mismo
sucede con las frecuencias de la gama descendente. Los componentes básicos
siempre son los mismos pero los exponentes cambian según las frecuencias de
cada intervalo. En este sistema de división de la octava no se encuentran
frecuencias que se correspondan con los armónicos 7, 11, 13 o sus múltiplos.
1
Como se puede apreciar, la gama natural de
frecuencias ascendentes tiene su equivalente descendente. Si en vez de dividir
la cuerda fundamental (1), se la multiplica por 2, 3, 4... n-veces, se obtiene
lo que podríamos llamar la ‘gama natural ondulatoria’ donde se tienen en cuenta,
no las frecuencias, sino las longitudes de onda de las frecuencias, su inversa.
Es decir, cuanto mayor es la longitud de onda, menor es la frecuencia, o al
revés, cuanto menor es la longitud mayor es la frecuencia.
De la gama descendente lo que nos importa no son
las notas sino la longitud de onda que ellas tienen. En el Ejemplo 2 se observa
una representación gráfica de las longitudes de onda de la gama descendente,
donde la longitud L = 1 se la
multiplica siete veces. La longitud 7 no tiene su equivalente en notas, pero lo
que nos interesa ahora es la relación de duraciones entre las diferentes
longitudes de onda.
2
La longitud de onda, es decir, el período
completo de una onda sonora, se repite exactamente igual mientras dura la nota.
Ahora, cuando dos ondas periódicas de diferente longitud son simultáneas se
producen diferentes relaciones que, en el caso de las frecuencias, determina la
cualidad del intervalo, pero desde el punto de vista de la mera longitud de
onda, podría entenderse como diferentes duraciones rítmicas.
El Ejemplo 3 muestra la derivación rítmica de
las longitudes 6 y 7 de la gama ondulatoria. Los siete y seis períodos de la
onda están representados por puntos (nodos). En
la parte superior están los que corresponden a la longitud de onda de la
frecuencia 7 y en la parte inferior, la longitud de la frecuencia 6. El número
de segmentos comunes (múltiplos) entre ambas longitudes es 42 (6×7), y están
representados por las líneas verticales. Así, la longitud de la onda 7 tiene
siete segmentos (nodos superiores) y la longitud de la onda 6 tiene seis (nodos
inferiores). Si a cada uno de estos segmentos se le adjudica el valor de una
corchea, desde el primer nodo de la longitud 7 al segundo de la longitud 6 se
tiene una blanca ligada a una negra. Entre el segundo nodo de la longitud 6 y
el segundo nodo de la longitud 7 hay un solo segmento por lo tanto tiene el
valor de una corchea. Entre el segundo nodo de la longitud 7 y el tercer nodo
de la longitud 6 hay una blanca ligada a una corchea. Desde el tercer nodo de
la longitud 6 y el tercer nodo de la longitud 7 hay una negra, y así continúa
hasta que vuelven a coincidir los nodos de ambas frecuencias. En la línea
inferior del gráfico 3 se puede ver el orden rítmico de las longitudes 6 y 7,
el que se repite simétricamente desde la mitad del recorrido hasta llegar al
fragmento número cuarenta y dos, momento en el que coinciden simultáneamente
los nodos de ambas longitudes. Este es el ritmo que se produce entre las
longitudes de los armónicos 6 y 7.
3
Es posible sumar varios intervalos simultáneos.
El Ejemplo 4 muestra el interesante resultado rítmico de sumar las longitudes
de tres intervalos. Contando desde la parte inferior los intervalos son: 5/4, 6/5
y 7/6. El número de corcheas (segmentos comunes) de estas nuevas longitudes de
onda son 20 (5×4) y 30 (6×5); es decir, 20 corcheas hacen un período completo
de las frecuencias 5/4 y 30 de las frecuencias 6/5. En estos casos lo que cuenta es el “ataque” (nodo)
y no tanto la duración total de las figuras, las que admiten ser
sustituidas por valores menores, incluyendo silencios, enriqueciendo así el
contrapunto entre las diferentes voces como se ve en el Ejemplo 5b. En el
siguiente no se han incluido silencios para hacer más fácil la lectura de las
diferentes longitudes.
4
En términos de frecuencias, 5/4 corresponde a
la tercera mayor, 6/5 a la tercera menor y 7/6. Este último no se encuentra en el
temperamento convencional pero corresponde a la segunda aumentada en otro
sistema de división de la octava: Do-Re (9/8), Do-Re# (7/6), Do-Mib (6/5), Do-Mi (5/4).
Las propiedades de las frecuencias en la gama
ascendente son equivalentes a las de la gama descendente, su reflejo simétrico.
Es lo que sucede con el grado de concordancia que tiene un acorde y su reflejo
simétrico como, por ejemplo, la tríada mayor Do-Mi-Sol (4:5:6) y la tríada
menor Fa-Lab-Do (6:5:4) o cualquier
otro acorde. Igualmente, el efecto de cadencia en la gama ascendente se repite
en todos los acordes de la gama descendente como, por ejemplo, entre
Re-Fa-La-Re (6:5:4:3) y Do-Mi-La-Mi (5:4:3:2). Se supone que esta equivalencia
debería estar implícita, de alguna manera, en las características rítmicas
derivadas de las longitudes naturales de las frecuencias, aunque se trate de
dimensiones diferentes. Sólo falta describir esta conexión, en el caso de ser
posible.
El siguiente ejemplo (5) muestra un posible
ordenamiento melódico de la primera parte del Ejemplo 4. Aquí, algunas
duraciones se completan con silencios para dar variedad contrapuntística al
desarrollo melódico.
5a
5b
II
CODIFICACIÓN
BINARIA
DE
SECUENCIAS RÍTMICAS
En la teoría de la información
la diferencia entre dos secuencias binarias de igual longitud se define por el
número de lugares en los que no hay coincidencia entre sí. A esto se lo conoce
como distancia de Hamming. En una secuencia de dígitos binarios de igual
longitud, el mínimo error es la diferencia de un solo digito, por ejemplo 1101
– 1001. En el proceso de comunicación se trata de una baja probabilidad
de error entre el mensaje emitido y el otro recibido, permitiendo que el
significado no se pierda. Los errores ortográficos son un claro ejemplo en este
sentido; ellos no incrementan la incertidumbre al extremo de hacer perder el
significado final del mensaje. El presente resumen busca mostrar cómo
utilizar la mínima diferencia no como un error sino como un valor de aproximación
o identificación formal entre dos secuencias rítmicas. Una cadena se secuencias
rítmicas con mínimos errores entre sí dan, bajo ciertas condiciones, unidad y
sentido a la continuación en su conjunto.
En este caso elegimos
secuencias binarias de cuatro dígitos, aunque éstos pueden ser de mayor
longitud. El número de secuencias diferentes de cuatro dígitos es igual a 24
= 16. Estas variables binarias expresan todas las posibilidades rítmicas de
cuatro unidades temporales, donde el sonido es igual a ‘1’ y el silencio es
igual a ‘0’.
0000 –
0001 – 0010 – 0011 – 0100 – 0101 – 0110 – 0111
1000 –
1001 – 1010 – 1011 – 1100 – 1101 – 1110 – 1111
Una secuencia con diferencias
mínimas podría ser:
1100 – 1101 – 0101 – 0111 – 0110 – 1110 –
1010 – 1011
Esta secuencia queda
representada rítmicamente como se ve en la primera parte del Ejemplo 1. El
dígito ‘0’ representa al silencio y el dígito ‘1’ corresponde al momento del
ataque. En la segunda parte del Ejemplo 1, y con la misma sucesión de dígitos
binarios, se producen prolongaciones entre figuras de igual duración o
duraciones menores a la unidad de tiempo, sean éstas ligadas o no, permitiendo
así variedad y grados de aproximación entre ellos. Aquí el dígito ‘0’
representa al silencio o a la prolongación del sonido.
1
El Ejemplo 2 muestra un desarrollo rítmico asociado a diferentes alturas. Las ligaduras indican cada
secuencia binaria.
2
En la fraseología del musicólogo Carlos Vega se
describe el motivo como dos momentos contrastantes: uno de movimiento y otro de
reposo. El movimiento está determinado por la mayor densidad de acontecimientos
por unidad de tiempo, mientras que el reposo está representado por una notable
disminución de esos acontecimientos en la misma unidad o una similar. En esta
acertada definición del motivo, las variables binarias también tienen su
participación: movimiento = 1, reposo = 0.
El Ejemplo 3 resume las formas posibles de
combinar sonidos y silencios (00, 01, 10, 11) al comienzo y en el último compás
del motivo. El motivo A no tiene anacrusa y el compás del movimiento no tiene
el tiempo fuerte (00), mientras que el reposo se forma con la prolongación del
último tiempo abarcando todo el compás o parte de él (00). El siguiente motivo
(B) tampoco tiene anacrusa pero aparece el tiempo fuerte en el compás del
movimiento (01), mientras que el reposo se forma con la prolongación del último
tiempo y terminación en tiempo débil (01). El siguiente motivo (C) tiene
anacrusa, no tiene tiempo fuerte porque hay un silencio o prolongación de la
anacrusa (10) y el reposo comienza en tiempo fuerte abarcando todo el compás o
parte de él (10). El último (D) tiene anacrusa y tiempo fuerte (11), reposa en
la blanca con puntillo y tiene terminación en tiempo débil (11). Estas son las
variables binarias que definen los dos momentos de cada motivo: 0000, 0101,
1010 y 1111
3
De las combinaciones posibles entre las formas
de inicio y final de cada motivo, según Carlos Vega, nueve son las susceptibles
de ser analizadas, aunque en realidad las combinaciones son 16, como se
mencionó más arriba. Las nueve formas son:
1100: Anacrúsico – Atélico (comienza con anacrusa y termina con
prolongación)
1110: Anacrúsico – Masculino (comienza con anacrusa y termina en tiempo
fuerte)
1111: Anacrúsico – Femenino (comienza con anacrusa y termina en tiempo
débil)
0100: Tético – Atélico (comienza en tiempo fuerte y termina con
prolongación)
0110: Tético – Masculino (comienza en tiempo
fuerte y termina en tiempo fuerte)
0111: Tético – Femenino (comienza en tiempo fuerte y termina en tiempo
débil)
0000: Acéfalo – Atélico (sin tiempo fuerte y
con prolongación)
0010: Acéfalo – Masculino (sin tiempo fuerte y
terminación en tiempo fuerte)
0011: Acéfalo – Femenino (sin tiempo fuerte y
terminación en tiempo débil)
Se entiende que hay prolongación cuando el
último tiempo del primer compás se extiende por ligadura al tiempo fuerte del
próximo compás (A y B del Ejemplo 3). Las otras variables no incluidas
anteriormente son: 0001, 0101, 1000, 1001, 1010, 1011, 1101.
Lo que se ha visto desde el principio de esta
segunda parte del artículo tiene que ver con el diseño rítmico
independientemente del efecto sensible que ciertas formas producen. Pero en
este último caso, además del diseño, está el efecto que produce la diferencia
de densidad entre dos momentos rítmicos, es decir, el de tensión y reposo. Aquí
también las variables binarias son útiles para describir procesos basados en estos
dos únicos estados posibles.
4
Una sucesión de duraciones breve-larga (corchea/negra)
denota reposo, en sentido contrario produce tensión. Un intervalo mayor seguido
de uno menor, este último en sentido ascendente o descendente, produce la
sensación de reposo, y a la inversa el efecto contrario. Lo mismo sucede con la
armonía (disonancia/consonancia), la intensidad (f / p) o cualquier otro
parámetro que implique diferencias de magnitud. Así, tensión y reposo permiten
ser codificados de manera binaria, facilitando la detección de patrones
formales (repeticiones, por ejemplo) en un nivel más general de observación, no
basado en la naturaleza de los elementos que intervienen sino en sus relaciones
y de acuerdo a esos dos únicos estados posibles (1, 0). El siguiente fragmento
(Ejemplo 4) pertenece a las Piezas breves
para piano op. 19, II de A. Schoenberg tomado del libro Música y Estructura del autor de este
artículo y publicado en el año 2010. Aquí se puede ver claramente la
codificación binaria relacionada con el ritmo
El primer sistema abarca desde el final de
compás 3 hasta las primeras notas del
compás 6 y el segundo desde el compás 7 hasta el final. Si se tiene en cuenta
la distancia entre ataques sucesivos, tomando la corchea como unidad, las
duraciones del primer sistema según el número de corches es: 2112311131112 y el
segundo: 311223112214. Si se suprimen las duraciones iguales, que no establecen
relaciones de magnitud, nos quedan 21231312 y 31231214. Las duraciones entre
ataques sucesivos son algo diferentes pero al ser representadas por su relación
mayor-menor (> = 1) y menor-mayor (< = 0), estas duraciones resultan ser
exactamente iguales:
La sucesión de dígitos binarios para ambos
casos resulta ser: 1001010. Es lo que se aprecia en la parte inferior del
Ejemplo 4.
En estos casos la codificación binaria se
asocia a los estados de tensión y reposo, sin ser menos importante la
codificación en función del diseño meramente rítmico como se ha visto desde un
principio.
