sábado, 4 de mayo de 2019

CODIFICACIÓN DEL RITMO


I
DERIVACIONES RÍTMICAS DE LA
GAMA NATURAL ONDULATORIA

Roberto Rue
roberto_rue@yahoo.com.ar



La gama natural de armónicos se obtiene al dividir una cuerda siguiendo el orden de los números naturales. Si a una cuerda fundamental (f = 1), cuya tensión es constante, se la divide en 2, 3, 4... n-partes iguales, se obtiene un orden de frecuencias que es 2, 3, 4... n-veces la frecuencia de la cuerda inicial. Por ejemplo, si la cuerda fundamental vibra 100 veces por segundo, la mitad de la cuerda vibrará 200 veces en la misma unidad de tiempo. Un tercio de la misma cuerda vibrará 300 veces y un cuarto de ella 400 veces por segundo, y así seguirá sucediendo a medida que la cuerda se divida de acuerdo al orden de los números naturales.
El temperamento igual está basado en la gama natural. En este sistema, la octava (2/1), es el único intervalo exacto, dentro del cual se distribuyen proporcionalmente las doce notas de la escala cromática. Esta manera de dividir la octava permite la mejor aproximación simultánea al sonido fundamental y las frecuencias 3 y 5, las que forman la tríada mayor. Por ejemplo, si la cuerda fundamental es la nota Do = 1, la tercera (1/3) y la quinta parte (1/5) de esta cuerda darán las notas Sol y Mi. Sin embargo, estos intervalos naturales no son exactamente iguales que los del temperamento porque la quinta temperada Do-Sol tiene un desvío de 2 por ciento de semitono con relación al intervalo natural; la tercera Do-Mi tiene un desvío de 14 por ciento, algo mayor que el de la quinta, no obstante, este desvío está dentro de los límites razonables como para que el oído identifique la tercera Do-Mi con el intervalo que hay entre las frecuencias naturales 4 y 5. Así, por aproximación, a la tríada Do-Mi-Sol le corresponden las frecuencias 4:5:6, y en la gama descendente, a la tríada menor Fa-Lab-Do le corresponden las frecuencias 6:5:4.
El Ejemplo 1 nos muestran las notas que son posibles reproducir en el temperamento convencional de doce notas por octava, tanto en la gama ascendente como en la descendente (subarmónicos). Todas las frecuencias de este sistema quedan resumidas en la siguiente fórmula: f = 2p.3q.5r, es decir, todas son múltiplos de las frecuencias 2, 3 y 5. Así, la segunda Do-Re es igual a 32/23,  el semitono es igual a 31.51/24 y la séptima menor Mi-Re es igual a 32/51, etc. Lo mismo sucede con las frecuencias de la gama descendente. Los componentes básicos siempre son los mismos pero los exponentes cambian según las frecuencias de cada intervalo. En este sistema de división de la octava no se encuentran frecuencias que se correspondan con los armónicos 7, 11, 13 o sus múltiplos.

1





Como se puede apreciar, la gama natural de frecuencias ascendentes tiene su equivalente descendente. Si en vez de dividir la cuerda fundamental (1), se la multiplica por 2, 3, 4... n-veces, se obtiene lo que podríamos llamar la ‘gama natural ondulatoria’ donde se tienen en cuenta, no las frecuencias, sino las longitudes de onda de las frecuencias, su inversa. Es decir, cuanto mayor es la longitud de onda, menor es la frecuencia, o al revés, cuanto menor es la longitud mayor es la frecuencia.
De la gama descendente lo que nos importa no son las notas sino la longitud de onda que ellas tienen. En el Ejemplo 2 se observa una representación gráfica de las longitudes de onda de la gama descendente, donde la longitud L = 1 se la multiplica siete veces. La longitud 7 no tiene su equivalente en notas, pero lo que nos interesa ahora es la relación de duraciones entre las diferentes longitudes de onda.

   2
                                                               



La longitud de onda, es decir, el período completo de una onda sonora, se repite exactamente igual mientras dura la nota. Ahora, cuando dos ondas periódicas de diferente longitud son simultáneas se producen diferentes relaciones que, en el caso de las frecuencias, determina la cualidad del intervalo, pero desde el punto de vista de la mera longitud de onda, podría entenderse como diferentes duraciones rítmicas.
El Ejemplo 3 muestra la derivación rítmica de las longitudes 6 y 7 de la gama ondulatoria. Los siete y seis períodos de la onda están representados por puntos (nodos). En  la parte superior están los que corresponden a la longitud de onda de la frecuencia 7 y en la parte inferior, la longitud de la frecuencia 6. El número de segmentos comunes (múltiplos) entre ambas longitudes es 42 (6×7), y están representados por las líneas verticales. Así, la longitud de la onda 7 tiene siete segmentos (nodos superiores) y la longitud de la onda 6 tiene seis (nodos inferiores). Si a cada uno de estos segmentos se le adjudica el valor de una corchea, desde el primer nodo de la longitud 7 al segundo de la longitud 6 se tiene una blanca ligada a una negra. Entre el segundo nodo de la longitud 6 y el segundo nodo de la longitud 7 hay un solo segmento por lo tanto tiene el valor de una corchea. Entre el segundo nodo de la longitud 7 y el tercer nodo de la longitud 6 hay una blanca ligada a una corchea. Desde el tercer nodo de la longitud 6 y el tercer nodo de la longitud 7 hay una negra, y así continúa hasta que vuelven a coincidir los nodos de ambas frecuencias. En la línea inferior del gráfico 3 se puede ver el orden rítmico de las longitudes 6 y 7, el que se repite simétricamente desde la mitad del recorrido hasta llegar al fragmento número cuarenta y dos, momento en el que coinciden simultáneamente los nodos de ambas longitudes. Este es el ritmo que se produce entre las longitudes de los armónicos 6 y 7.

3






Es posible sumar varios intervalos simultáneos. El Ejemplo 4 muestra el interesante resultado rítmico de sumar las longitudes de tres intervalos. Contando desde la parte inferior los intervalos son: 5/4, 6/5 y 7/6. El número de corcheas (segmentos comunes) de estas nuevas longitudes de onda son 20 (5×4) y 30 (6×5); es decir, 20 corcheas hacen un período completo de las frecuencias 5/4 y 30 de las frecuencias 6/5.  En estos casos lo que cuenta es el “ataque” (nodo) y no tanto la duración total de las figuras, las que admiten ser sustituidas por valores menores, incluyendo silencios, enriqueciendo así el contrapunto entre las diferentes voces como se ve en el Ejemplo 5b. En el siguiente no se han incluido silencios para hacer más fácil la lectura de las diferentes longitudes.

     4




En términos de frecuencias, 5/4 corresponde a la tercera mayor, 6/5 a la tercera menor y 7/6. Este último no se encuentra en el temperamento convencional pero corresponde a la segunda aumentada en otro sistema de división de la octava: Do-Re (9/8), Do-Re# (7/6), Do-Mib (6/5), Do-Mi (5/4).
Las propiedades de las frecuencias en la gama ascendente son equivalentes a las de la gama descendente, su reflejo simétrico. Es lo que sucede con el grado de concordancia que tiene un acorde y su reflejo simétrico como, por ejemplo, la tríada mayor Do-Mi-Sol (4:5:6) y la tríada menor Fa-Lab-Do (6:5:4) o cualquier otro acorde. Igualmente, el efecto de cadencia en la gama ascendente se repite en todos los acordes de la gama descendente como, por ejemplo, entre Re-Fa-La-Re (6:5:4:3) y Do-Mi-La-Mi (5:4:3:2). Se supone que esta equivalencia debería estar implícita, de alguna manera, en las características rítmicas derivadas de las longitudes naturales de las frecuencias, aunque se trate de dimensiones diferentes. Sólo falta describir esta conexión, en el caso de ser posible.
El siguiente ejemplo (5) muestra un posible ordenamiento melódico de la primera parte del Ejemplo 4. Aquí, algunas duraciones se completan con silencios para dar variedad contrapuntística al desarrollo melódico.

     5a  




5b







II
CODIFICACIÓN BINARIA
DE SECUENCIAS RÍTMICAS


En la teoría de la información la diferencia entre dos secuencias binarias de igual longitud se define por el número de lugares en los que no hay coincidencia entre sí. A esto se lo conoce como distancia de Hamming. En una secuencia de dígitos binarios de igual longitud, el mínimo error es la diferencia de un solo digito, por ejemplo 1101 – 1001. En el proceso de comunicación se trata de una baja probabilidad de error entre el mensaje emitido y el otro recibido, permitiendo que el significado no se pierda. Los errores ortográficos son un claro ejemplo en este sentido; ellos no incrementan la incertidumbre al extremo de hacer perder el significado final del mensaje. El presente resumen busca mostrar cómo utilizar la mínima diferencia no como un error sino como un valor de aproximación o identificación formal entre dos secuencias rítmicas. Una cadena se secuencias rítmicas con mínimos errores entre sí dan, bajo ciertas condiciones, unidad y sentido a la continuación en su conjunto.
En este caso elegimos secuencias binarias de cuatro dígitos, aunque éstos pueden ser de mayor longitud. El número de secuencias diferentes de cuatro dígitos es igual a 24 = 16. Estas variables binarias expresan todas las posibilidades rítmicas de cuatro unidades temporales, donde el sonido es igual a ‘1’ y el silencio es igual a ‘0’.
   

0000 – 0001 – 0010 – 0011 – 0100 – 0101 – 0110 – 0111
1000 – 1001 – 1010 – 1011 – 1100 – 1101 – 1110 – 1111

Una secuencia con diferencias mínimas podría ser:


1100 – 1101 – 0101 – 0111 – 0110 – 1110 – 1010 – 1011

Esta secuencia queda representada rítmicamente como se ve en la primera parte del Ejemplo 1. El dígito ‘0’ representa al silencio y el dígito ‘1’ corresponde al momento del ataque. En la segunda parte del Ejemplo 1, y con la misma sucesión de dígitos binarios, se producen prolongaciones entre figuras de igual duración o duraciones menores a la unidad de tiempo, sean éstas ligadas o no, permitiendo así variedad y grados de aproximación entre ellos. Aquí el dígito ‘0’ representa al silencio o a la prolongación del sonido.


1




El Ejemplo 2 muestra un desarrollo rítmico asociado a diferentes alturas. Las ligaduras indican cada secuencia binaria.

2



En la fraseología del musicólogo Carlos Vega se describe el motivo como dos momentos contrastantes: uno de movimiento y otro de reposo. El movimiento está determinado por la mayor densidad de acontecimientos por unidad de tiempo, mientras que el reposo está representado por una notable disminución de esos acontecimientos en la misma unidad o una similar. En esta acertada definición del motivo, las variables binarias también tienen su participación: movimiento = 1, reposo = 0.
El Ejemplo 3 resume las formas posibles de combinar sonidos y silencios (00, 01, 10, 11) al comienzo y en el último compás del motivo. El motivo A no tiene anacrusa y el compás del movimiento no tiene el tiempo fuerte (00), mientras que el reposo se forma con la prolongación del último tiempo abarcando todo el compás o parte de él (00). El siguiente motivo (B) tampoco tiene anacrusa pero aparece el tiempo fuerte en el compás del movimiento (01), mientras que el reposo se forma con la prolongación del último tiempo y terminación en tiempo débil (01). El siguiente motivo (C) tiene anacrusa, no tiene tiempo fuerte porque hay un silencio o prolongación de la anacrusa (10) y el reposo comienza en tiempo fuerte abarcando todo el compás o parte de él (10). El último (D) tiene anacrusa y tiempo fuerte (11), reposa en la blanca con puntillo y tiene terminación en tiempo débil (11). Estas son las variables binarias que definen los dos momentos de cada motivo: 0000, 0101, 1010 y 1111

     3




De las combinaciones posibles entre las formas de inicio y final de cada motivo, según Carlos Vega, nueve son las susceptibles de ser analizadas, aunque en realidad las combinaciones son 16, como se mencionó más arriba. Las nueve formas son:

1100: Anacrúsico – Atélico  (comienza con anacrusa y termina con prolongación)
1110: Anacrúsico – Masculino  (comienza con anacrusa y termina en tiempo fuerte)
1111: Anacrúsico – Femenino  (comienza con anacrusa y termina en tiempo débil)
0100: Tético – Atélico  (comienza en tiempo fuerte y termina con prolongación)
0110: Tético – Masculino (comienza en tiempo fuerte y termina en tiempo fuerte)    
0111: Tético – Femenino  (comienza en tiempo fuerte y termina en tiempo débil)    
0000: Acéfalo – Atélico (sin tiempo fuerte y con prolongación)
0010: Acéfalo – Masculino (sin tiempo fuerte y terminación en tiempo fuerte)
0011: Acéfalo – Femenino (sin tiempo fuerte y terminación en tiempo débil)

Se entiende que hay prolongación cuando el último tiempo del primer compás se extiende por ligadura al tiempo fuerte del próximo compás (A y B del Ejemplo 3). Las otras variables no incluidas anteriormente son: 0001, 0101, 1000, 1001, 1010, 1011, 1101.
Lo que se ha visto desde el principio de esta segunda parte del artículo tiene que ver con el diseño rítmico independientemente del efecto sensible que ciertas formas producen. Pero en este último caso, además del diseño, está el efecto que produce la diferencia de densidad entre dos momentos rítmicos, es decir, el de tensión y reposo. Aquí también las variables binarias son útiles para describir procesos basados en estos dos únicos estados posibles.
    
     4





Una sucesión de duraciones breve-larga (corchea/negra) denota reposo, en sentido contrario produce tensión. Un intervalo mayor seguido de uno menor, este último en sentido ascendente o descendente, produce la sensación de reposo, y a la inversa el efecto contrario. Lo mismo sucede con la armonía (disonancia/consonancia), la intensidad (f / p) o cualquier otro parámetro que implique diferencias de magnitud. Así, tensión y reposo permiten ser codificados de manera binaria, facilitando la detección de patrones formales (repeticiones, por ejemplo) en un nivel más general de observación, no basado en la naturaleza de los elementos que intervienen sino en sus relaciones y de acuerdo a esos dos únicos estados posibles (1, 0). El siguiente fragmento (Ejemplo 4) pertenece a las Piezas breves para piano op. 19, II de A. Schoenberg tomado del libro Música y Estructura del autor de este artículo y publicado en el año 2010. Aquí se puede ver claramente la codificación binaria relacionada con el ritmo
El primer sistema abarca desde el final de compás 3  hasta las primeras notas del compás 6 y el segundo desde el compás 7 hasta el final. Si se tiene en cuenta la distancia entre ataques sucesivos, tomando la corchea como unidad, las duraciones del primer sistema según el número de corches es: 2112311131112 y el segundo: 311223112214. Si se suprimen las duraciones iguales, que no establecen relaciones de magnitud, nos quedan 21231312 y 31231214. Las duraciones entre ataques sucesivos son algo diferentes pero al ser representadas por su relación mayor-menor (> = 1) y menor-mayor (< = 0), estas duraciones resultan ser exactamente iguales:


La sucesión de dígitos binarios para ambos casos resulta ser: 1001010. Es lo que se aprecia en la parte inferior del Ejemplo 4.    
En estos casos la codificación binaria se asocia a los estados de tensión y reposo, sin ser menos importante la codificación en función del diseño meramente rítmico como se ha visto desde un principio.